Question

17．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，2cosx），设函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（B）=2且a+c=3，△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积，利用三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，即可求出f（x）的单调增区间；
（2）根据题意，求出角B的值，利用三角形的面积公式以及余弦定理，求出b的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，2cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x
=$\sqrt{3}$sin2x+（cos2x+1）
=2（sin2xcos$\frac{π}{6}$+cos2xsin$\frac{π}{6}$）+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（2）在△ABC中，f（B）=2，
即2sin（2B+$\frac{π}{6}$）+1=2，
∴sin（2B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2B+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
解得B=$\frac{π}{3}$；
∴△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$ac•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ac=2；
又a+c=3，
∴由余弦定理得
b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=3²-3×2=3，
∴b=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量数量积的坐标运算问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了正弦和余弦定理的应用问题，是综合性题目．