Question

4．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$
（1）求f（2）+f（$\frac{1}{2}$），f（3）+f（$\frac{1}{3}$）的值；
（2）求证：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）是定值；
（3）求f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（2012）+f（$\frac{1}{2012}$）的值．

Answer 1

分析 （1）直接代入即可求f（2）+f（$\frac{1}{2}$），f（3）+f（$\frac{1}{3}$）的值；
（2）代入进行整理即可证明f（x）+f（$\frac{1}{x}$）是定值；
（3）由（2）的结论进行求解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
∴f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{1+4}$$+\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1$，
f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{9}{1+9}+\frac{\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}}$=$\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=1$；
（2）f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=1；
（3）∵f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，
∴f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（2012）+f（$\frac{1}{2012}$）=2011．

点评 本题主要考查函数值的计算，比较基础．