Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，且2a_n+S_n=An²+Bn+C．
（1）当A=B=0，C=1时，求a_n；
（2）若数列{a_n}为等差数列，且A=1，C=-2．
①求a_n；
②设b_n=

1

an an+1 +an+1 an

，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求T₆₀的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意得an=

2

3

an-1，由此求出an=

1

3

(

2

3

)n-1．
（2）①数列{a_n}为等差数列，由通项公式与求和公式，得a_n=2n-1．
②b_n=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法能求出T₆₀的值．

解答： 解：（1）由题意得，2a_n+S_n=1，
∴2a_n-1+S_n-1=1（n≥2），
两式相减，得an=

2

3

an-1，…（3分）
又当n=1时，有3a₁=1，即a1=

1

3

，
∴数列{a_n}为等比数列，
∴an=

1

3

(

2

3

)n-1．…（5分）
（2）①∵数列{a_n}为等差数列，
由通项公式与求和公式，得：
2an+Sn=2a1+2(n-1)d+

d

2

n2+(a1-

d

2

)n=

d

2

n2+(a1+

3d

2

)n+2a1-2d，
∵A=1，C=-2，∴

d

2

=1，a₁-d=-2，
∴d=2，a₁=1，∴a_n=2n-1．（10分）
②b_n=

1

an an+1 +an+1 an

=

1

(2n-1) 2n+1 +(2n+1) 2n-1

=

1

2n-1 2n+1 ( 2n-1 + 2n+1 )

=

2n+1 - 2n-1

2n-1 2n+1 ( 2n-1 + 2n+1 )( 2n+1 - 2n-1 )

=

2n+1 - 2n-1

2 2n-1 2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（13分）
则Tn=

1

2

(

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)，
∴T60=

1

2

(

1

1

--

1

121

)=

1

2

(1-

1

11

)=

5

11

…（16分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．