Question

17．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点左、右分别为F₁、F₂，点P是双曲线上一点，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，P到原点的距离为2，则△PF₁F₂的面积的取值范围是（　　）

• A． （0，2）
• B． （1，2）
• C． （2，4）
• D． （0，4）

Answer 1

分析 由向量垂直可得△PF₁F₂为直角三角形，由P到原点的距离为2，可得c=2，设P为右支上一点，且|PF₂|=t，由双曲线的定义可得|PF₁|=2a+t，运用勾股定理和三角形的面积公式，由0＜a＜2计算即可得到所求范围．

解答 解：由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可得△PF₁F₂为直角三角形，
由P到原点的距离为2，可得c=2，
设P为右支上一点，且|PF₂|=t，
由双曲线的定义可得|PF₁|=2a+t，
即有t²+（2a+t）²=4c²=16，
即为t²+2at+2a²-8=0，
即t（t+2a）=8-2a²，
又△PF₁F₂的面积为S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•PF₂|=$\frac{1}{2}$t（2a+t）=4-a²，
由0＜a＜c=2，可得4-a²∈（0，4）．
即有S∈（0，4）．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义和性质，主要是定义法的运用，考查向量垂直的条件和直角三角形的斜边的中线为斜边的一半和勾股定理的运用，考查运算能力，属于中档题．