Question

2．设x，y∈[$\frac{1}{3}$，1]，则y+$\frac{x}{\sqrt{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{11}{6}$

Answer 1

分析 化简$\frac{x}{\sqrt{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}}$=$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}}$，而$\frac{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-2）²+4y²≥4y²，从而可得$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}}$≤$\frac{1}{2y}$，再利用对勾函数的性质求解即可．

解答 解：∵$\frac{x}{\sqrt{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}}$=$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}}$，
而$\frac{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{4}{x}$+4（y²+1）
=（$\frac{1}{x}$-2）²+4y²≥4y²，
（当且仅当x=$\frac{1}{2}$时，等号成立），
故$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}}$≤$\sqrt{\frac{1}{4{y}^{2}}}$=$\frac{1}{2y}$，
故y+$\frac{x}{\sqrt{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}}$≤y+$\frac{1}{2y}$≤$\frac{11}{6}$，
（由函数y=x+$\frac{1}{2x}$的单调性求得）；
故选D．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及转化思想的应用，同时考查了二次函数与对勾函数的性质应用，属于中档题．