Question

设x₁，x₂是方程ax²+（b-1）x+1=0（a＞0）的两个实根．
（1）若0＜x₁＜2，x₂-x₁=2，求证：b＜

1

4

；
（2）若x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）时，求函数f（x）=-ax²-（b-1）x-1+2（x₂-x）最大h（a）的最小值．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系,二次函数的性质

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）可根据韦达定理求出x₁+x₂和x₁x₂，根据已知|x₂-x₁|可以用x₁+x₂和x₁x₂，表示出来，从而求出b的范围；
（2）设f（x）=-ax²-（b-1）x-1+2（x₂-x）=-a（x-x₁）（x-x₂）-2（x-x₂）=-a（x-x₂）（x-x₁+

2

a

），再利用不等式进行放缩和利用导数进行求解．

解答： （1）证明：由题意，x₁+x₂=-

b-1

a

，x₁x₂=

1

a

两式相除得-（b-1）=

1

x1

+

1

x2

，即b=-（

1

x1

+

1

x2

）+1     
当0＜x₁＜2时，由x₁x₂=

1

a

＞0，
∴x₂-x₁=2 即x₂=x₁+2
∴b=-

1

x1

-

1

x1+2

+1，x₁∈（0，2）
令函数φ（x）=-

1

x

-

1

x+2

+1（x＞0），则φ′（x）=

1

x2

+

1

(x+2)2

，
∴φ（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴当x₁∈（0，2）时，b=φ（x₁）＜φ（2）=-

1

2

-

1

4

+1=

1

4

，即b＜

1

4

；
（2）解：∵x₁，x₂是方程ax²+（b-1）x+1=0（a＞0）的两个实根，
∴可设f（x）=-ax²-（b-1）x-1+2（x₂-x）=-a（x-x₁）（x-x₂）-2（x-x₂）=-a（x-x₂）（x-x₁+

2

a

） 
又x∈（x₁，x₂） 又a＞0，
∴x-x₁+

2

a

＞0
∴g（x）=|a（x-x₂）（x-x₁+

2

a

）|=a（x₂-x）（x-x₁+

2

a

）
≤a(

x2-x1+ 2 a

2

)2=a（1+

1

a

）²=a+

1

a

+2
当且仅当x₂-x₁=x-x₁+

2

a

即x=x₁+1-

1

a

时取等号
∴h（a）=a+

1

a

+2，（a＞0）
h′（a）=1-

1

a2

＜0
∴h（a）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数． 
∴h（a）_min=h（1）=4．

点评：主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力．