Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），有如下结论：
①?x∈（-1，1），有f（-x）=f（x）；
②?x∈（-1，1），有f（-x）=-f（x）；
③?x₁，x₂∈（-1，1），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0；
④?x₁，x₂∈（0，1），有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

．
其中正确结论的序号是

 

．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）是定义域（-1，1）上的奇函数，判断①错误，②正确；
根据f（x）是定义域（-1，1）上的增函数，判断③正确，
根据f（x）的图象在（0，1）上是向下凹的增函数，判断④正确．

解答： 解：∵函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）=ln

1+x

1-x

，x∈（-1，1）；
∴?x∈（-1，1），有f（-x）=ln

1-x

1+x

=ln(

1+x

1-x

)-1=-ln

1+x

1-x

=-f（x）；
∴①错误，②正确；
又设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=ln

1+x1

1-x1

-ln

1+x2

1-x2

=ln

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

，
∵1-x₁＞1-x₂＞0，1+x₂＞1+x₁＞0，
∴0＜

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜1，
∴ln

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是定义域（-1，1）上的增函数，
即?x₁，x₂∈（-1，1），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，③正确；
又f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），
求导得：f′（x）=

1

1+x

+

1

1-x

=

1-x

1-x2

+

1+x

1-x2

=

2

1-x2

＞0，
设g（x）=

2

1-x2

，x∈（0，1），
再求导得：g′（x）=

4x

(1-x2)2

＞0，
∴f（x）是向下凹的增函数，
∴?x₁，x₂∈（0，1），有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

，④正确．
综上，正确结论的序号是②③④．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了判断函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了导数的应用问题，是综合性题目．