Question

在直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x-2）²+（y-2）²=4，动圆C₂过点（2，0）和（-2，0），记两圆的交点为A、B，
（1）如果直线AB的方程为x-y-2=0，求圆C₂的方程；
（2）设M为线段AB的中点，求|OM|的最大值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）联立AB的方程和圆C：（x-2）²+（y-2）²=4，可求得A和B的坐标，求出点（2，0）和（-2，0）构成弦的中垂线为x=0，弦AB的中垂线方程为y=-x+4，联立解得C₂的圆心坐标为（0，4），由此写出C₂的方程；
（2）假设B点坐标为（2+2cosθ，2+2sinθ），M为AB中点，则有M点坐标为（2+cosθ，1+sinθ），求出OM²的最大值，即可求|OM|的最大值．

解答： 解：（1）联立AB的方程和圆C：（x-2）²+（y-2）²=4，可求得A和B的坐标分别为（2，0）和（4，2）
因为圆心在弦的中垂线上，点（2，0）和（-2，0）构成弦的中垂线为x=0
弦AB的中垂线方程为y=-x+4
联立解得C₂的圆心坐标为（0，4），由此写出C₂的方程为x²+（y-4）²=20
（2）因为B在圆C₁上，假设B点坐标为（2+2cosθ，2+2sinθ）
M为AB中点，则有M点坐标为（2+cosθ，1+sinθ）
OM²=（2+cosθ）²+（1+sinθ）²=4+4cosθ+cos²θ+1+2sinθ+sin²θ
=6+4cosθ+2sinθ=6+2

5

sin（θ+α）  这里的α=arcsin

2

5

，
所以可知OM²的最大值为6+2

5

，
所以|OM|_max=1+

5

．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查参数法的运用，属于中档题．