Question

18．点C是线段AB上任意一点，O是直线AB外一点，$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，不等式x²（y+1）+y²（x+2）＞k（x+2）（y+1）对满足条件的x，y恒成立，则实数k的取值范围$（-∞，\frac{1}{4}）$．

Answer 1

分析 由题意可知x+y=1，x，y∈[0，1]，将y=1-x代入不等式，分理变量，整理得k＜$\frac{2{x}^{2}-3x+2}{4-{x}^{2}}$，构造辅助函数，求导根据单调性求得其最小值，即可求得k的取值范围．

解答 解：点C是线段AB上任意一点，O是直线AB外一点，$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$
∴x+y=1，x，y∈[0，1]，
将y=1-x代入不等式x²（y+1）+y²（x+2）＞k（x+2）（y+1）中，
可得2x²-3x+2＞k（4-x²），即k＜$\frac{2{x}^{2}-3x+2}{4-{x}^{2}}$，
令f（x）=$\frac{2{x}^{2}-3x+2}{4-{x}^{2}}$，x∈[0，1]，对f（x）求导，得f′（x）=$\frac{-3{x}^{2}+20x-12}{（4-{x}^{2}）^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{2}{3}$＜x＜1，
f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{2}{3}$，
∴f（x）在[0，$\frac{2}{3}$]上递减，在[$\frac{2}{3}$，1]上递增，
当x=$\frac{2}{3}$时，f（x）有最小值，
最小值为$\frac{1}{4}$，
所以当k＜$\frac{1}{4}$时，不等式恒成立，
故答案为：$（-∞，\frac{1}{4}）$．

点评 本题考查向量基本定理及其性质，考查分离变量法求函数的取值范围，利用导数法求函数的单调性及其最值，综合能力强，计算复杂，属于中档题．