Question

7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）设$\frac{1}{12}$π＜x＜$\frac{11}{12}$π，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）在同一坐标系中画出y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）和直线y=m（m∈R）的图象，结合正弦函数的图象的特征，数形结合求得实数m的取值范围和这两个根的和．

解答 解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，可得A=2，
根据$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$，求得ω=2．
再根据五点法作图可得2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）和直线y=m（m∈R）的图象，
由图可知，当-2＜m＜0或$\sqrt{3}$＜m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．
∴m的取值范围为：-2＜m＜0或$\sqrt{3}$＜m＜2； 
当-2＜m＜0时，两根和为$\frac{4π}{3}$； 当$\sqrt{3}$＜m＜2时，两根和为$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象的特征，属于中档题．