Question

6．扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=2，其中C是OA的中点，P是$\widehat{AB}$上的动点（含端点），若实数λ，μ满足$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OC}$+μ$\overrightarrow{OB}$，则λ+μ的取值范围是（　　）

• A． [1，$\sqrt{2}$]
• B． [1，$\sqrt{3}$]
• C． [1，2]
• D． [1，$\sqrt{5}$]

Answer 1

分析 建立直角坐标系，分别表示向量$\overrightarrow{OC}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，2），由题意可知，$\frac{λ}{2}$=cosθ，u=sinθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，λ+μ=2cosθ+sinθ=$\sqrt{5}$sin（θ+φ），即可求得其最大值，当P与B重合时，即可求得其最小值．

解答 解：以$\overrightarrow{OA}$所在的直线为x轴，以$\overrightarrow{OB}$所在的直线为y轴，建立直角坐标系，
A（2，0），B（0，2），C（1，0），$\overrightarrow{OC}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，2），
设P（x，y），P在圆x²+y²=4，
$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OC}$+μ$\overrightarrow{OB}$，
∴（x，y）=（λ，0）+（0，2μ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=λ}\\{y=2μ}\end{array}\right.$，0≤λ≤2，0≤μ≤1，
设$\frac{λ}{2}$=cosθ，u=sinθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴λ=2cosθ，u=sinθ，
λ+μ=2cosθ+sinθ=$\sqrt{5}$sin（θ+φ），tanφ=2，
当θ+φ=$\frac{π}{2}$时，λ+μ的最大值为$\sqrt{5}$，
当P在B点时，μ=1，λ=0时λ+μ取最小值为1，
故选：D．

点评 本题考查向量的坐标表示，圆的参数方程，辅助角公式，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．