Question

8．如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆经过等腰梯形ABCD的四个顶点，两腰与x轴相交于点M，N，且$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$
（1）若等腰梯形的高等于3，上底BC=2，MN=6，求椭圆方程；
（2）当MN等于椭圆的短轴长时，求椭圆的离心率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据向量的坐标运算，即可求得x₂-3=-2（x₁-3），y₂=-2y₁，根据单调性，即可求得A和B的坐标，代入椭圆方程，即可求得椭圆方程；
（2）由2x₁+x₂=3b，代入椭圆方程，由0＜x₂＜b，即可求得3c²＜2a²，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知：设椭圆方程：mx²+ny²=1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意可知：点M坐标为（3，0），
则$\overrightarrow{MB}$=（x₂-3，y₂），$\overrightarrow{MA}$=（x₁-3，y₁），
由$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，则$\overrightarrow{MB}$=-2$\overrightarrow{MA}$，则x₂-3=-2（x₁-3），y₂=-2y₁，
由等腰梯形与椭圆的对称性，则y₂-y₁=3，x₂=1，
∴x₁=4，y₁=-1，y₂=2，
∴A（4，-1），B（1，2），
$\left\{\begin{array}{l}{16m+n=1}\\{m+4n=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{21}}\\{n=\frac{5}{21}}\end{array}\right.$，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{21}+\frac{5{y}^{2}}{21}=1$；
（2）由2x₁+x₂=3b，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，消去y₁，
4x₁²-x₂²=3a²，
∴2x₁-x₂=$\frac{{a}^{2}}{b}$，2x₂=3b-$\frac{{a}^{2}}{b}$，
由0＜x₂＜b，则0＜3b²-a²＜2b²，
∴a²＜2a²，3c²＜2a²，
∴e=$\frac{c}{a}$，则0＜e＜$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴椭圆的离心率e的取值范围（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，椭圆的离心率的求法，考查椭圆的对称及等腰梯形的对称性，考查计算能力，属于中档题．