Question

已知函数f（x）=

|x|(x+6)

x+1

（x≠-1），下列关于函数g（x）=[f（x）]²-f（x）+a（其中a为常数）的叙述中：
①?a＞0，函数g（x）至少有4个零点；
②当a=0时，函数g（x）有5个不同零点；
③?a∈R，使得函数g（x）有6个不同零点；
④函数g（x）有多个不同零点的充要条件是0≤a≤

1

4

．
其中真命题有

 

．（把你认为的真命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数零点的判定定理

专题：阅读型,数形结合,函数的性质及应用

分析：画出函数f（x）的图象，令g（x）=0，由判别式小于0，可判断①；由f（x）=0，1，结合图象即可判断②；举a=

1

8

，解出f（x），结合图象，即可判断③；结合图象，a≥0，同时考虑判别式不小于0，即可求出充要条件，从而判断．

解答： 解：画出函数f（x）的图象：
令g（x）=0，即
[f（x）]²-f（x）+a=0，
①若判别式小于0，即1-4a＜0，
则方程无实根，函数g（x）无零点，故①错；
②a=0时，g（x）=0得f（x）=0或1，由图象显然有五个交点，即函数g（x）有5个不同零点，故②对；
③若a=

1

8

，则由g（x）=0得到f（x）=

2+ 2

4

或

2- 2

4

，由图象可知有6个交点，故③对；
④函数g（x）有多个不同零点?g（x）=0有实根?a≥0且1-4a≥0?0≤a≤

1

4

．故④对．
故答案为：②③④．

点评：本题考查函数的零点个数问题，转化为方程有无实根的问题，注意通过图象观察，考查数形结合的能力，属于中档题．