Question

设集合A={x|(

1

2

)x2-5x＜16}，B={x|

x-2

x-5

＞0}，C={x|x²-2mx+m+2=0}，
（Ⅰ）求A∩（∁_RB）；
（Ⅱ）若A∩C=∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数单调性的应用,交、并、补集的混合运算

专题：计算题,函数的性质及应用,集合

分析：（Ⅰ）由题意，化简集合A，B，从而求A∩（∁_RB）；
（Ⅱ）讨论集合C是否是空集，从而解得实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵(

1

2

)x2-5x＜16，
∴x²-5x＞-4，
∴x＞4或x＜1，
故A={x|(

1

2

)x2-5x＜16}={x|x＞4或x＜1}，
B={x|

x-2

x-5

＞0}={x|x＞5或x＜2}，
故∁_RB={x|2≤x≤5}，
故A∩（∁_RB）=（4，5]；
（Ⅱ）①当x²-2mx+m+2=0无解，
即△=4m²-4（m+2）＜0，
故-1＜m＜2；
当△=4m²-4（m+2）≥0时，

1≤m≤4 1-2m+m+2≥0 16-8m+m+2≥0

，
解得，2≤m≤

18

7

．
故实数m的取值范围为（-1，

18

7

]．

点评：本题考查了集合的化简及不等式的解法，属于中档题．