Question

12．按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
（1）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
（2）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
（3）分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
（4）甲得1本，乙得1本，丙得4本．

Answer 1

分析 （1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，是有序不均匀分配问题，直接利用排列组合数公式求解即可．
（2）平均分成三份，每份2本．这是平均分组问题，求出组合总数除以A³₃，然后分配到人．
（3）分成三份，1份4本，另外两份每份1本，自然分组，
（4）由有序定向分配问题，直接求解即可．

解答 解：（1）有序不均匀分配问题．先选1本有C¹₆种选法；再从余下的5本中选2本有C²₅种选法；最后余下3本全选有C³₃种方法，故共有A₃³C¹₆C²₅C³₃=360种．
（2）无序均匀分组问题．先分三步，则应是C²₆C²₄C²₂种方法，但是这里出现了重复．
不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则C²₆C²₄C²₂种分法中还有（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD），共A³₃种情况，而这A³₃种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有A₃³$\frac{{{C}_{6}^{2}C}_{4}^{2}}{{A}_{3}^{3}}$=90种．
（3）无序分组问题，${C}_{6}^{4}$=15种．
（4）从6本中选4本分配给丙，再选1本分配给甲，剩下的一本给乙，故有C₆⁴C₂¹=30种．

点评 本题考查排列、组合及简单计数问题，正确区分无序不均匀分组问题．有序不均匀分组问题．无序均匀分组问题．是解好组合问题的一部分；本题考查计算能力，理解能力．