Question

2．过点（4，0）且斜率为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$的直线交圆x²+y²-4x=0于A，B两点，C为圆心，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值为（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． $\frac{32}{5}$
• D． 4

Answer 1

分析 直线方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-4），代入x²+y²-4x=0，可得x²-5x+4=0，求出AB，可得∠CAB=30°，利用向量的数量积公式，求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值．

解答 解：由题意，直线方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-4），
代入x²+y²-4x=0，可得x²-5x+4=0，∴x=1或4，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•|4-1|$=2$\sqrt{3}$，
∵圆的半径为2，∴∠CAB=30°，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}•2•\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
故选：A．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查向量的数量积公式，属于中档题．