Question

已知函数f（x）=|x+a|+|2x-1|（a∈R）．
（l）当a=1，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若f（x）≤2x的解集包含[

1

2

，1]，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式

分析：对第（1）问，利用零点分段法，令|x+1|=0，|2x-1|=0，获得分类讨论的标准，最后取各部分解集的并集即可；
对第（2）问，不等式f（x）≤2x的解集包含[

1

2

，1]，等价于f（x）≤2x在[

1

2

，1]内恒成立，由此去掉一个绝对值符号，再探究f（x）≤2x的解集与区间[

1

2

，1]的关系．

解答： 解：（1）当a=1时，由f（x）≥2，得|x+1|+|2x-1|≥2，
①当x≥

1

2

时，原不等式可化为（x+1）+（2x-1）≥2，得x≥

2

3

，
∴x≥

2

3

；
②当-1≤x＜

1

2

时，原不等式可化为（x+1）-（2x-1）≥2，得x≤0，
∴-1≤x≤0；
③当x＜-1时，原不等式可化为-（x+1）-（2x-1）≥2，得x≤-

2

3

，
∴x＜-1．
综上知，原不等式的解集为{x|x≤0，或x≥

2

3

}．
（2）不等式f（x）≤2x的解集包含[

1

2

，1]，等价于f（x）≤2x在[

1

2

，1]内恒成立，
从而原不等式可化为|x+a|+（2x-1）≤2x，即|x+a|≤1，
∴当x∈[

1

2

，1]时，-a-1≤x≤-a+1恒成立，
∴

-a-1≤ 1 2 -a+1≥1

，解得-

3

2

≤a≤0，
故a的取值范围是[-

3

2

，0]．

点评：1．本题考查了含两个绝对值不等式的解法，一般有零点分段法，函数图象法等．
2．第（2）问的关键是将条件转换成不等式恒成立问题，这也是本题的难点所在．