Question

已知函数f（x）=sin（x+

7π

4

）+cos（x-

3π

4

），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和最值；
（2）已知cos（β-α）=

4

5

，cos（β+α）=-

4

5

，（0＜α＜β≤

π

2

），求证：[f（β）]²-2=0．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,两角和与差的余弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,证明题,三角函数的图像与性质

分析：（1）运用两角和差的正弦和余弦公式，化简f（x）得到2sin（x-

π

4

），再求出周期和最值；
（2）运用两角和差的余弦公式，再相加即得cosβcosα=0，由0＜α＜β≤

π

2

得到β=

π

2

，求出f（β），即可得证．

解答： （1）解：函数f（x）=sin（x+

7π

4

）+cos（x-

3π

4

）
=sinxcos

7π

4

+cosxsin

7π

4

+cosxcos

3π

4

+sinxsin

3π

4

=

2

2

sinx-

2

2

cosx-

2

2

cosx+

2

2

sinx=

2

sinx-

2

cosx
=2sin（x-

π

4

），
∴f（x）的最小正周期为π，f（x）_max=2，f（x）_min=-2；
（2）证明：cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=

4

5

，
cos（β+α）=cosβcosα-sinβsinα=-

4

5

，
两式相加，得cosβcosα=0，
又0＜α＜β≤

π

2

，
则cosα∈（0，1），cosβ=0，β=

π

2

，
f（β）=2sin

π

4

=

2

，
∴[f（β）]²-2=0．

点评：本题主要考查两角和差的三角函数，考查三角函数的周期和最值，属于基础题．