Question

已知函数f（x）=

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x²-2x（x∈R），g（x）=m+4ln（x+1）（-1＜x≤4）．
（Ⅰ）求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的交点？若存在，求出m的值或范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率和切点坐标，应用点斜式方程写出切线方程；
（Ⅱ）遇到关于两个函数的图象的交点个数的问题，一般是构造新函数，题目转化为研究函数的零点问题，通过导数得到函数的最值，把函数的最值同0进行比较，得到结果．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=

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x²-2x的导数f′（x）=x-2，
则切线的斜率为1-2=-1，切点为（1，-

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），
∴f（x）在x=1处的切线方程为：y+

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=-（x-1）即2x+2y+1=0；
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点，
即函数m（x）=f（x）-g（x）的图象与x轴（-1＜x≤4）有且只有两个不同的交点．
∵m（x）=

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x²-2x-4ln（x+1）-m，m′（x）=

(x-3)(x+2)

x+1

（-1＜x≤4）
当x∈（-1，3）时，m'（x）＜0，m（x）是减函数；
当x∈（3，4）时，m'（x）＞0，m（x）是增函数；
∴m（x）_极小值=m（3）=-m-8ln2-

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．
又m（4）=-4ln5，
∴要使函数m（x）=f（x）-g（x）的图象与x轴（-1＜x≤4）有且只有两个不同的交点，
必须且只须m（4）＞0且m（3）＜0，
即-8ln2-

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＜m＜-4ln5．
∴存在实数m，使得函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点，
且m的取值范围为（-8ln2-

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，-4ln5）．

点评：本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力．