Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦点分别是F₁，F₂，正三角形AF₁F₂的一边AF₁与双曲线左支交于点B，且

AF1

=4

BF1

，则双曲线C的离心率的值是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出F₁（-c，0），A（0，

3

c），设B（x，y），根据

AF1

=4

BF1

，可得x=-

3

4

c，y=

3

4

c，代入双曲线方程，即可得出结论．

解答： 解：由题意，F₁（-c，0），A（0，

3

c），
设B（x，y），则
∵

AF1

=4

BF1

，
∴（-c，-

3

c）=4（-c-x，-y），
∴x=-

3

4

c，y=

3

4

c，
代入双曲线方程，化简可得，9e⁴-28e²+16=0，
∴e=

13 +1

3

．
故答案为：

13 +1

3

．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，确定坐标之间的关系是关键．