题目内容

如图，在半径为4，圆心角为变量2θ（0＜θ＜2π）的扇形OAB内作一内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相内切并与圆P外切的小圆Q，记圆Q的半径为y．
（1）试将y表示成θ的函数；
（2）求圆Q的半径y的最大值．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用
专题：直线与圆
分析：（1）设圆P的半径为x，圆Q的半径为y，圆P切OA于E，连结PE，将y表示成θ的函数．
（2）令sinθ=t，0＜t＜1，y=4•
t2-t
(1+t)2
，由此利用导数的性质能求出圆Q的半径的最大值为
1
2
，此时sinθ=
1
3
．
解答： 解：（1）设圆P的半径为x，圆Q的半径为y，
圆P切OA于E，连结PE，
则sinθ=
x
4-x
，∴x=
4sinθ
1+sinθ
，
同理，得y=
sinθ
1+sinθ
（4-2x）=
4sinθ(1-sinθ)
(1+sinθ)2
，
∴y=
4sinθ(1-sinθ)
(1+sinθ)2
．
（2）令sinθ=t，0＜t＜1，y=4•
t2-t
(1+t)2
，
则y′=4•
1-3t
(1+t)3
，
令y′=0，则t=
1
3
，
0＜t＜
1
3
时，y′＞0；
1
3
＜t＜1时，y′＜0．
∴当t=
1
3
时，y极大值=ymax，
∴圆Q的半径的最大值为
1
2
，此时sinθ=
1
3
．
点评：本题考查函数的求法，考查圆的半径的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
曲线
2
ρ=4sin（θ+
π
4
）与曲线
x=
1
2
-
2
2
t
y=
1
2
+
2
2
t
的位置关系是（　　）
A、相交过圆心B、相交不过圆心
C、相切D、相离
若数列{2 an}是公比为q的等比数列，则（　　）
A、{an}是公差为q的等差数列
B、{an}是公差为2q的等差数列
C、{an}是公差为log2q的等差数列
D、{an}可能不是等差数列
已知sinα+cosα=-
1
5
（0＜α＜π）
（Ⅰ）求tanα；
（Ⅱ）求sin2α+sinαcosα-2cos2α的值．
已知函数f（x）=x2-2x-8，求不等式f（x）＞-6的解集．
复数z=m2（
1
m+8
+i）+（6m-16）i-
m+2
m+8
．（i为虚数单位）
（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z对应的点在第三象限或第四象限，求实数m的取值范围．
已知f（x）=a+|b|sinx，（a，b∈R），x∈R，且函数f（x）的最大值为3，最小值为1．
（1）求a，b的值；
（2）（ⅰ）求函数f（-x）的单调递增区间；
（ⅱ）求函数f（x）的对称中心．
复数z=（3m-2）+（m-1）i，m∈R．
（1）m为何值时，z是纯虚数？
（2）m取什么值时，z在复平面内对应的点位于第四象限？
设f（x）=（1+x）n=C
 
0
n
+C
 
1
n
x+C
 
2
n
x2+…+C
 
n-1
n
xn-1+C
 
n
n
xn（n是正整数），利用赋值法解决下列问题：
（1）求S1=C
 
0
n
+C
 
1
n
+C
 
2
n
+…+C
 
n
n
；
（2）n为偶数时，求S2=C
 
1
n
+C
 
3
n
+C
 
5
n
+…+C
 
n-1
n
；
（3）n是3的倍数时，求S3=C
 
2
n
+C
 
5
n
+C
 
8
n
+…+C
 
n-1
n
．

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