Question

已知f（x）=a+|b|sinx，（a，b∈R），x∈R，且函数f（x）的最大值为3，最小值为1．
（1）求a，b的值；
（2）（ⅰ）求函数f（-x）的单调递增区间；
（ⅱ）求函数f（x）的对称中心．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由条件得

a+|b|=3 a-|b|=1

，由此求得a和b的值．
（2）（ⅰ）f（-x）=2-sinx，函数f（-x）的单调递增区间，即函数y=sinx的减区间，从而得出结论．
（ⅱ）根据函数y=sinx的对称中心的坐标为（kπ，0），k∈z，函数f（x）=）=2+sinx 的对称中心．

解答： 解：（1）由条件得

a+|b|=3 a-|b|=1

，解得a=2，b=±1．
（2）（ⅰ）由于f（x）=2+sinx，∴f（-x）=2-sinx，
故函数f（-x）的单调递增区间，即函数y=sinx的减区间，
故函数f（-x）的单调递增区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]k∈z．
（ⅱ）根据函数y=sinx的对称中心的坐标为（kπ，0），k∈z，
故函数f（x）=）=2+sinx 的对称中心为（kπ，2），k∈z．

点评：本题主要考查分段函数的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，属于基础题．