Question

【题目】若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）极小值；（2）.

【解析】

(1)求出，令求出方程的解，从而探究随的变化情况，即可求出极值.

(2)求出，令，分，，三种情况进行讨论，结合零点存在定理求出实数的取值范围.

解：（1）当时，的定义域为，，

令，解得，则随的变化如下表，

故在上是减函数，在上是增函数；

故在时取得极小值；

（2）函数的定义域为，，

令，则，

当时，在恒成立，故在上是增函数，

而，故当时，恒成立，

故在区间上单调递增，故在区间上没有极值点；

当时，由（1）知，在区间上没有极值点；

当时，令，解得或（舍去）；

故在上是增函数，在上是减函数，

①当，即时，

在上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，

②令得，不符合题意；

③令得，所以，

而，又，

所以在上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，

综上所述，实数的取值范围是.