题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，已知四边形
为矩形，
，
，
，
的角平分线
交
于
.
（1）求证:平面
平面；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）过点
作
交
于
，连接
，设
，连接
，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得
，
，由线面垂直的判断定理证得
平面
，再由面面垂直的判断得证.
（2）平面几何知识和线面的关系可证得
平面
，建立空间直角坐标系
，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值.
（1）如图，过点作交于，连接，设，连接，
，
，
又
为
的角平分线，
四边形
为正方形，
，
又
，
，
，
，
，又
为
的中点，
又
平面，
，
平面，
又
平面，平面
平面，
（2）在
中，
，
，
，在
中，
，
，
又
，
，
，
，
又
，，
平面，
平面，
故建立如图空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
，
令
，得
,
设平面
的一个法向量为
，则
，
，令
，得
，由图示可知二面角
是锐角，
故二面角的余弦值为.
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【题目】某快餐连锁店，每天以200元的价格从总店购进早餐，然后以每份10元的价格出售．40份以内，总店收成本价每份5元，当天不能出售的早餐立即以1元的价格被总店回收，超过40份的未销售的部分总店成本价回收，然后进行环保处理．如果销售超过40份，则超过40份的利润需上缴总店．该快餐连锁店记录了100天早餐的销售量（单位：份），整理得下表：
日销售量 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
频数 | 10 | 16 | 28 | 24 | 14 | 8 |
完成下列问题：
（1）写出每天获得利润
与销售早餐份数
（
）的函数关系式；
（2）估计每天利润不低于150元的概率；
（3）估计该快餐店每天的平均利润．
