题目内容
【题目】已知椭圆
，以椭圆的顶点为顶点的四边形的面积为
，且该四边形内切圆的半径为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设
是过椭圆中心的任意一条弦，直线
是线段的垂直平分线，若
是直线与椭圆的一个交点，求
面积的最小值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由已知条件列出
的方程组，解得后得椭圆方程；
（2）当
不在坐标轴上时，设直线的方程为：
，设
，
代入椭圆方程求出交点坐标，得弦长，同理得
点坐标得
，然后计算三角形面积，利用基本不等式得最小值．再求出直线
与坐标轴重合时，三角形的面积，比较后可得最小值．
（1）
∴椭圆的标准方程为
（2）当不在坐标轴上时，设直线的方程为：，设，
，
同理：
，
∴
∵
（当且仅当
，即
进“=”成立）
∴
，
当直线与坐标轴生重合时，易得
，
∵
∴当且仅当时，
面积的最小值为.
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