Question

18．已知数列{a_n}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2，若对满足m+n≤5的任意正整数m，n，均有a_m+a_n=a_m+n成立．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令${b_n}=\frac{{{a_{2n-1}}}}{{{a_{2n}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意分别令m=n=1，或m=1，n=2，根据数列{a_n}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2即可求出首项，写出通项公式即可，
（Ⅱ）利用错位相减法即可求出数列的{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）对满足m+n≤5的任意正整数m，n，均有a_m+a_n=a_m+n成立，
令m=n=1，则a₁+a₁=a₂即a₂=2a₁，
令m=1，n=2，得a₁+a₂=a₃，
∵a₃=a₁+2，
∴3a₁=a₁+2，
解得a₁=1，a₂=2，
由题意数列{a_n}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1+2（\frac{n+1}{2}-1），n为奇数}\\{2•{2}^{\frac{n}{2}-1}，n为偶数}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{n，n为奇数}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
则T_n=1×$\frac{1}{2}$+3×（$\frac{1}{2}$）²+5×（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1×（$\frac{1}{2}$）²+3×（$\frac{1}{2}$）³+5×（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（2n-1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-（2n-1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{1}{2}$+$\frac{2×\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{3}{2}$-（2n+3）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列得很等比数列的定义以及错位相减法求和，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题