Question

已知抛物线Γ：x²=2my（m＞0）和直线l：y=kx-m没有公共点（其中k，m为常数），动点P是直线l上的任意一点，过P点引抛物线Γ的两条切线，切点分别为M，N，且直线MN恒过点Q（k，1）．
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）已知O为坐标原点，连接PQ交抛物线Γ于A，B两点，且A点在线段PQ之间，求

PA

•

QB

+

PB

•

QA

的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：压轴题,转化思想

分析：对第（1）问，先求二次函数y=

x2

2m

的导数，由点斜式得切线PM，PN的方程，由此得直线MN的方程，根据点P在l上及MN恒过点Q分别得方程，通过消参，最后可得m的值；
对第（2）问，可将向量的数量积转化为线段的长度，再转化为长度之比，从而利用相似三角形的相似比，以达到化简的目的．

解答： 解：（Ⅰ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
由x²=2my，得y=

x2

2m

，则y′=

x

m

，
又

x 2 1

m

=2y1，

x 2 2

m

=2y2，
则切线PM的方程为y=

x1

m

x-y1，切线PN的方程为y=

x2

m

x-y2．
由于PM，PN经过点P，有

y0= x1 m x0-y1 y0= x2 m x0-y2

，
显然，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的坐标满足方程y0=

x

m

x0-y，
根据两点确定一条直线，可知直线MN的方程就是y0=

x

m

x0-y，
∵MN恒过点（k，1），∴y0=

k

m

x0-1，
又点P在直线l上，有y₀=kx₀-1，联立上式消去kx₀，得（y₀+1）（m-1）=0，
由y₀的任意性知，m=1，
∴抛物线Γ的方程为x²=2y．
（Ⅱ）由于P，A，B，Q四点共线，且A点在线段PQ之间，
可得

PA

•

QB

+

PB

•

QA

=|

PA

|•|

QB

|-|

PB

|•|

QA

|=|

PA

||

PB

|(

| QB |

| PB |

-

| QA |

| PA |

)，
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），根据相似三角形的对应边所成比例相等，
有

| QB |

| PB |

=

x4-k

x4-x0

，

| QA |

| PA |

=

k-x3

x3-x0

，
∴|

PA

||

PB

|(

| QB |

| PB |

-

| QA |

| PA |

)=|

PA

||

PB

|（

x4-k

x4-x0

-

k-x3

x3-x0

）．
由P（x₀，y₀），Q（k，1），知直线PQ：y-1=

y0-1

x0-k

(x-k)，
与抛物线方程x²=2y联立可得

1

2

x2-

y0-1

x0-k

x+

y0k-x0

x0-k

=0，
由韦达定理得x3+x4=

2(y0-1)

x0-k

，…①
x3x4=

2y0k-2x0

x0-k

，…②
∴

x4-k

x4-x0

-

k-x3

x3-x0

=-

(k-x4)(x3-x0)-(x3-k)(x4-x0)

(x4-x0)(x3-x0)

=-

(x3+x4)(k+x0)-2x3x4-2kx0

(x4-x0)(x3-x0)

，…③
将①、②式代入③式中得

x4-k

x4-x0

-

k-x3

x3-x0

=-

2(y0-1) x0-k •(k+x0)-2• 2y0k-2x0 x0-k -2kx0

(x4-x0)(x3-x0)

=-

2x0y0-2k+2x0-2y0k-2k x 2 0 +2k2x0

(x0-k)(x4-x0)(x3-x0)

．
 将y₀=kx₀-1代入上式，得

x4-k

x4-x0

-

k-x3

x3-x0

=-

2x0(kx0-1)-2k+2x0-2k(kx0-1)-2k x 2 0 +2k2x0

(x0-k)(x4-x0)(x3-x0)

=0，
即

PA

•

QB

+

PB

•

QA

的值为0．

点评：1．本题难度较大，涉及的参数较多，如何消参成了解决本题的主要任务，常用方法是代入法．
2．求

PA

•

QB

+

PB

•

QA

时，若根据向量向量积的坐标进行运算，则计算量太大，很难算出结果，本题先将数量积转化为长度，再将长度转化为横坐标的计算，计算量明显减少．
3．本题涉及直线与圆锥曲线相交的问题，联立直线与曲线的方程，消去y，得到一个关于x的一元二次方程，利用韦达定理消元，体现了“设而不求”的思想．