Question

设A，B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点，长轴长为4，短轴长为2，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线l：x=3与PA，PB分别交于M，N两点，做以MN为直径的圆，设此圆圆心为Q．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）圆Q恒过x轴上两个定点，求这两个定点的坐标；
（3）试判断PQ直线与椭圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直接由题意得椭圆的长半轴长和短半轴长，则椭圆方程可求；
（2）设出P的坐标，写出PA和PB的方程，求出M，N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，取y=0的定点坐标；
（3）直接写出PQ的方程，化简后和椭圆方程联立，求得y=y₀，说明两曲线有一个切点．

解答： 解：（1）∵2a=4，2b=2，得a=2，b=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设P（x₀，y₀），则PA的方程为

y-0

y0-0

=

x+2

x0+2

，取x=3，则M（3，

5y0

x0+2

），
PB的方程为

y-0

y0-0

=

x-2

x0-2

，取x=3，则N（3，

y0

x0-2

）．
∴MN的中点为Q（3，

3x0y0-4y0

x02-4

），
∴以MN为直径的圆Q的方程为(x-3)2+(y-

3x0y0-4y0

x02-4

)2=(

2x0y0-6y0

x02-4

)2．
取y=0，得(x-3)2=

20y02-5x02y02

(x02-4)2

．
∵

x02

4

+y02=1，∴y02=1-

x02

4

=

4-x02

4

，4-x02=4y02．
∴(x-3)2=

20y02-5x02y02

(x02-4)2

=

20y02-5y02(4-4y02)

16y04

=

5

4

．
x-3=±

5

2

，
∴x=3±

5

2

，
∴两个定点的坐标为（3-

5

2

，0），（3+

5

2

，0）；
（3）直线PQ方程为

y-y0

3x0y0-4y0 x02-4 -y0

=

x-x0

3-x0

，即x=-

4

x0

(y0y-1)，
与

x2

4

+y2=1联立可得：y=y₀．
∴PQ直线与椭圆的位置关系是相切．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的关系，着重考查了学生的计算能力，是压轴题．