Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+2a_n=3（n∈N^*），设数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n=$\frac{2{b}_{n-1}}{{b}_{n-1}+2}$（n≥2）．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）S_n+2a_n=3（n∈N^*），以及S_n-1+2a_n-1=3（n∈N^*），两式相减得到数列{a_n}的递推关系式，求通项公式；由已知b_n=$\frac{2{b}_{n-1}}{{b}_{n-1}+2}$（n≥2）变形得到数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是等差数列，从而求得通项公式；
（2）首先得到数列{c_n}的通项公式，利用错位相减法求其前n项和．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n满足S_n+2a_n=3（n∈N^*），
所以S_n-1+2a_n-1=3（n∈N^*），
两式相减得到$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2}{3}$，且a₁=1，
所以数列{a_n}是以1为首项$\frac{2}{3}$为公比的等比数列，
以数列{a_n}的通项公式为a_n=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
又b_n=$\frac{2{b}_{n-1}}{{b}_{n-1}+2}$（n≥2）．整理得$\frac{1}{{b}_{n}}-\frac{1}{{b}_{n-1}}=\frac{1}{2}$，
所以数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是以1为首项$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，所以$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}$n$+\frac{1}{2}$．所以b_n=$\frac{2}{n+1}$，
（2）设${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{1}{2}•（\frac{2}{3}）^{n-1}•（n+1）$，
数列{c_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}$（1×2$+\frac{2}{3}×3$$+（\frac{2}{3}）^{2}×4$+…+$（\frac{2}{3}）^{n-1}（n+1）$）①
$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{3}×2+（\frac{2}{3}）^{2}×3+（\frac{2}{3}）^{3}×4$+…+$（\frac{2}{3}）^{n-1}n+（\frac{2}{3}）^{n}（n+1）$）②
②-①得$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}+$…+$（\frac{2}{3}）^{n-1}$-$（\frac{2}{3}）^{n}（n+1）$）=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n-1}]}{1-\frac{2}{3}}$-$（\frac{2}{3}）^{n}（n+1）$），
所以T_n=6-$（\frac{2}{3}）^{n}\frac{3（n+4）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列和等比数列通项公式的求法以及利用错位相减法求数列的前n 项和；属于常规题；注意掌握方法．