Question

4．对定义在[1，+∞）上的函数f（x）和常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“凯森数对”．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“凯森数对”，且f（1）=3，求f（16）；
（2）已知函数f₁（x）=log₃x与f₂（x）=2^x的定义域都为[1，+∞），问它们是否存在“凯森数对”？分别给出判断并说明理由；
（3）若（2，0）是f（x）的一个“凯森数对”，且当1＜x≤2时，f（x）=$\sqrt{2x-{x^2}}$，求f（x）在区间（1，+∞）上的不动点个数．

Answer 1

分析 （1）（1，1）是f（x）的一个“凯森数对，构造f（2n）=f（2n-1）+1，即可求出f（16），
（2）分别根据新定义，判断即可，
（3）当2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹，则1＜$\frac{x}{{2}^{n}}$≤2，根据题意可得当2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹时，函数y=f（x）-x在区间（1，+∞）无零点，问题得以解决．

解答 解：（1）由题意，f（2x）=f（x）+1，且f（1）=3，则f（2n）=f（2n-1）+1，
则数列{f（2n）}成等差数列，公差为d=1，首项f（1）=3，
于是f（16）=7；
（2）对于函数f₁（x）=log₃x，定义域为[1，+∞），
∴log₃2x=alog₃x+b，
∴log₃2+log₃x=alog₃x+b，
∴a=1，b=log₃2，
∴（1，log₃2）为函数f₁（x）的一个“凯森数对，
对于函数f₂（x）=2^x，定义域为[1，+∞），
∴2^2x=a2^x+b，
∴a=2^x，b=0，
∴不存在“凯森数对“
（3）当2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹，则1＜$\frac{x}{{2}^{n}}$≤2，
则由题意得f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2²f（$\frac{x}{{2}^{2}}$）=…=2ⁿf（$\frac{x}{{2}^{n}}$）=2ⁿ，
∴$\sqrt{\frac{2x}{{2}^{n}}-（\frac{x}{{2}^{n}}）^{2}}$=$\sqrt{{2}^{n+1}•x-{x}^{2}}$，
由f（x）-x=0，得$\sqrt{{2}^{n+1}•x-{x}^{2}}$=x，
解得x=0，或x²=2ⁿ均不符合条件，
即当2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹时，函数y=f（x）-x在区间（1，+∞）无零点，
由于（1，+∞）=（1，2]∪（2，2²]∪…∪（2ⁿ，2ⁿ⁺¹]…，
∴f（x）在区间（1，+∞）上无零点，
f（x）在区间（1，+∞）上的不动点个数为0个．

点评 本题考查利用新定义分析问题、解决问题的能力．考查转化计算，分类讨论、构造能力及推理论证能力，思维量大，属于难题．