Question

3．已知e为自然对数的底数，若对任意的x₁∈[0，1]，总存在唯一的x₂∈[-1，1]，使得x₁+x₂²•e${\;}^{{x}_{2}}$-a=0成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [1，e]
• B． （1，e]
• C． （1+$\frac{1}{e}$，e]
• D． [1+$\frac{1}{e}$，e]

Answer 1

分析 由x₁+x₂²•e${\;}^{{x}_{2}}$-a=0成立，解得x₂²•e${\;}^{{x}_{2}}$=a-x₁，根据题意可得：a-1≥（-1）²e^-1，且a-0≤1²×e¹，解出并且验证等号是否成立即可得出答案．

解答 解：由x₁+x₂²•e${\;}^{{x}_{2}}$-a=0成立，解得x₂²•e${\;}^{{x}_{2}}$=a-x₁，
∴对任意的x₁∈[0，1]，总存在唯一的x₂∈[-1，1]，使得x₁+x₂²•e${\;}^{{x}_{2}}$-a=0成立，
∴a-1≥（-1）²e^-1，且a-0≤1²×e¹，
解得1+$\frac{1}{e}$≤a≤e，其中a=1+$\frac{1}{e}$时，x₂存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是（1+$\frac{1}{e}$，e]．
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．