题目内容
9．给定有穷单调递增数列{xn}（n∈N*），数列{xn}至少有两项，且xi≠0（1≤i≤n），定义集合A={（x，y）|1≤i，j≤n，且i，j∈N*}．若对任意点A1∈A，存在A2∈A使得OA1⊥OA2（O为坐标原点），则称数列{xn}具有性质P．（1）给出下列四个命题，其中正确是①③④（填上所有正确命题的序号）
①数列{xn}：-2，2具有性质P；
②数列{xn}：-2，-1，1，2具有性质P；
③数列{xn}具有性质P，则{xn}中一定存在两项xi，xj，使得xi+xj=0；
④数列{xn}具有性质P，x1=-1，x2＞0，且xn＞1（n≥3），则x2=1．
（2）若数列{xn}只有2015项且具有性质P，x1=-1，x3=2，则{xn}的所有S2015=22016-2．
分析 （1）利用数列{an}具有性质P的概念，对数列{xn}：-2，2与数列{xn}：-2，-1，1，3分析判断即可；取A1（xi，xi），数列{xn}具有性质P，故存在点A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，利用向量的坐标运算整理即可证得xi+xj=0；数列{xn}中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；数列{xn}是单调递增数列且x2＞0，1为数列{xn}中的一项，通过反证法可证得x2=1；
（2）x2=1．若数列{xn}只有2015项且具有性质P，可得x4=4，x5=8，猜想数列{xn}从第二项起是公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式计算即可．
解答 解：（1）①对于数列{xn}，若A1（-2，2），则A2（2，2），
若A1（-2，-2）则A2（2，-2），均满足OA1⊥OA2，所以①具有性质P，故①正确；
②对于数列{xn}，当A1（-2，3）若存在A2（x，y）满足OA1⊥OA2，
即-2x+3y=0，即$\frac{y}{x}$=$\frac{2}{3}$，数列{xn}中不存在这样的数x，y，因此②不具有性质P，故②不正确；
③取A1（xi，xi），又数列{xn}具有性质P，所以存在点A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，
即xixi+xixj=0，又xi≠0，所以xi+xj=0，故③正确；
④由③知，数列{xn}中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；
又数列{xn}是单调递增数列且x2＞0，所以1为数列{xn}中的一项．
假设x2≠1，则存在k（2＜k＜n，k∈N*）有xk=1，所以0＜x2＜1．
此时取A1（x2，xn），数列{xn}具有性质P，所以存在点A2（xi，xs）使得OA1⊥OA2，
所以x2xi+xnxs=0；只有x1，所以当x1=-1时x2=xnxs＞xs≥x2，矛盾；
当xs=-1时x2=$\frac{{x}_{n}}{{x}_{i}}$≥1，矛盾．所以x2=1，故④正确．
（2）由（1）知，x2=1．若数列{xn}只有2015项且具有性质P，可得x4=4，x5=8，
猜想数列{xn}从第二项起是公比为2的等比数列，所以S2015=-1+1+2+4+…+22015
=2+4+…+22015=22016-2．
故答案为：①③④；22016-2．
点评 本题考查等差数列与等比数列的综合，考查新概念的理解与应用，突出考查抽象思维与反证法的综合应用，属于难题．
学练快车道快乐假期寒假作业系列答案| A． | $（3+4\sqrt{2}，+∞）$ | B． | $（2\sqrt{2}-1，+∞）$ | C． | $（0，2\sqrt{2}-1）$ | D． | $（0，3+4\sqrt{2}）$ |
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\frac{3\sqrt{13}}{26}$ |
一个正棱柱（底面是正三角形、侧棱垂直于底面的棱柱）的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积等于（ ）| A． | 2$\sqrt{3}$+12 | B． | 2$\sqrt{3}$+24 | C． | 2$\sqrt{3}$+12 | D． | 6$\sqrt{3}$+24 |
| A． | a与|a|是集合A中的两个不同元素 | |
| B． | 方程（x-1）2（x-2）=0的解集有3个元素 | |
| C． | 抛物线y=x2上的所有点组成的集合是有限集 | |
| D． | 不等式x2+1≤0的解集是空集 |
| A． | 3∈A | B． | 1∈A | C． | 0∉A | D． | -1∈A |