Question

19．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=AD=2，CD=1，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是以AD为底的等腰三角形
（1）证明：AD⊥PB；
（2）若三棱锥C-PBD的体积等于$\frac{1}{2}$，问：是否存在过点C的平面CMN，分别交PB、AB于点M，N，使得平面CMN∥平面PAD？若存在，求出△CMN的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）要证明线线垂直，可以通过线面垂直来证明，取AD中点E，连PE，BE，即证明AD⊥平面PEB．利用侧面PA=PD⊥底面PE⊥AD和在底面解三角形即可证明；
（2）由三棱锥的体积，求出$PE=\sqrt{3}$，取PB中点M，AB中点N，连CM，MN，CN得平面CMN∥平面PAD，取BE中点G，由${S_{△CMN}}=\frac{1}{2}CN•MG$，能求出结果．

解答 解：（1）取AD中点E，连PE，BE，
∵△PAD为等腰三角形，PA=PD
∴PE⊥AD
在直角梯形中，由AB=AD=2，CD=1，
得$BC=\sqrt{3}$，∠DAB=60°，
则△ABD为正三角形，∴BE⊥AD
∴AD⊥平面PEB，AD⊥PB．
（2）由（1）知PE⊥AD，又平面PAD⊥底面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，
则${V_{C-PBD}}={V_{P-BDC}}=\frac{1}{3}•PE×\frac{1}{2}•DC×BC=\frac{1}{2}$，∴$PE=\sqrt{3}$
取PB中点M，AB中点N，连CM，MN，CN
由MN∥PA，CN∥AD
可知平面CMN∥平面PAD
取BE中点G，连结MG，$MG∥PE，MG=\frac{1}{2}PE$，∴MG⊥CN，
∴存在过点C的平面CMN，分别交PB、AB于点M，N，使得平面CMN∥平面PAD，
${S_{△CMN}}=\frac{1}{2}CN•MG$=$\frac{1}{2}×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断三角形面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．