Question

11．将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成一个长方体，如图所示，设这个长方体底面的一条边长为x、对角线长为2，底面的面积为A．
（1）求面积A以x为自变量的函数式；
（2）求截得长方体的体积的最大值．

Answer 1

分析 （1）作出横截面，由这个长方体底面的一条边长为x、对角线长为2，能求出底面的面积A．
（2）长方体的体积V=x•$\sqrt{4-{x}^{2}}$•1，由此利用配方法能求出截得长方体的体积的最大值．

解答 解：（1）将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成一个长方体，
横截面如图，
设这个长方体底面的一条边长为x、对角线长为2，底面的面积为A．
由题意得A=x•$\sqrt{4-{x}^{2}}$（0＜x＜2）．…（4分）
（未写x的范围扣1分）
（2）长方体的体积V=x•$\sqrt{4-{x}^{2}}$•1=$\sqrt{-（{x}^{2}-2）^{2}+4}$，…（5分）
由（1）知0＜x＜2，
∴当x²=2，即x=$\sqrt{2}$时，V_max=2．    …（7分）
故截得长方体的体积的最大值为2．  …（8分）

点评 本题考查长方体的底面面积的求法，考查长方体的体积的最大值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．