Question

10．已知数列{a_n}满足a_n-a_n+1=a_n+1a_n（n∈N^*），数列{b_n}满足${b_n}=\frac{1}{a_n}$，且b₁+b₂+…+b₁₀=65，则a_n=$\frac{1}{n+1}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a_n-a_n+1=a_n+1a_n（n∈N^*），$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，可得b_n+1-b_n=1，再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a_n-a_n+1=a_n+1a_n（n∈N^*），∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
即b_n+1-b_n=1，
∴数列{b_n}为等差数列，公差为1，又b₁+b₂+…+b₁₀=65，
∴10b₁+$\frac{10×9}{2}$×1=65，解得b₁=2．
∴b_n=2+（n-1）=n+1=$\frac{1}{{a}_{n}}$，解得a_n=$\frac{1}{n+1}$．
故答案为：$\frac{1}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．