Question

11．已知双曲线的焦点在x轴上，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，渐近线方程为$\sqrt{2}x±y=0$，问：过点B（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于M，N两点，并且点B为线段MN的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 根据题意，求出a，b，可得双曲线方程；先假设存在这样的直线l，分斜率存在和斜率不存在两张千克设出直线l的方程，当k存在时，结合双曲线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则根据△＞0及其P是线段AB的中点，找出矛盾，然后判断当k不存在时，直线经过点P但不满足条件，综上，符合条件的直线l不存在．

解答 解：根据题意，c=$\sqrt{3}$，$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，
∴a=1，b=$\sqrt{2}$，∴双曲线的方程是：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
过点P（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1
①当k存在时，联立方程可得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0    
当直线与双曲线相交于两个不同点，可得
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜$\frac{3}{2}$，
又方程的两个不同的根是两交点A、B的横坐标
∴x₁+x₂=$\frac{2（k-{k}^{2}）}{2-{k}^{2}}$，
又∵P（1，1）是线段AB的中点，
∴$\frac{2（k-{k}^{2}）}{2-{k}^{2}}$=2，解得k=2．
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此当k=2时，方程（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 无实数解
故过点P（1，1）与双曲线交于两点A、B且P为线段AB中点的直线不存在．
②当x=1时，直线经过点P但不满足条件，
综上所述，符合条件的直线l不存在．

点评 本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，考查双曲线的性质的运用，考查学生的运算能力，属于中档题．