Question

已知向量

a

=(

3

sin 

πx

4

，sin 

πx

4

)，

b

=(sin 

πx

4

，cos 

πx

4

)，函数f（x）=

a

•

b

-

3

2

．
（1）求y=f（x）的对称轴方程；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）的值；
（3）在△ABC中，若A＜B，且f(

4A

π

)=f(

4B

π

)=

1

2

，求

sin B

sin C

的值．

Answer 1

考点：平面向量的综合题,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用向量的数量积公式，结合二倍角公式、辅助角公式化简函数，即可确定y=f（x）的对称轴方程；
（2）确定函数的周期，即可得到结论；
（3）求出A，B，C，利用三角函数可得结论．

解答： 解：（1）∵向量

a

=(

3

sin 

πx

4

，sin 

πx

4

)，

b

=(sin 

πx

4

，cos 

πx

4

)，
∴函数f（x）=

a

•

b

-

3

2

=(

3

sin 

πx

4

，sin 

πx

4

)•(sin 

πx

4

，cos 

πx

4

)-

3

2

=

1

2

sin

πx

2

-

3

2

cos

πx

2

=sin(

πx

2

-

π

3

)
令

πx

2

-

π

3

=kπ+

π

2

，则x=2k+

5

3

（k∈Z）
∴y=f（x）的对称轴方程为x=2k+

5

3

（k∈Z）；
（2）∵函数f（x）的周期为T=

2π

π 2

=4，2012=4×503
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=0；
（3）∵f(

4A

π

)=f(

4B

π

)=

1

2

，
∴sin(2A-

π

3

)=sin(2B-

π

3

)=

1

2

∵A＜B，
∴A=

π

4

，B=

7

12

π
∴C=π-A-B=

π

6

∵sinB=sin（

π

3

+

π

4

）=

6 + 2

4

，sinC=

1

2

∴

sin B

sin C

=

6 + 2

2

．

点评：本题考查向量的数量积，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．