Question

曲线y=

1-(x-2)2

与直线y+2=k（x+1）有两个相异的交点，求k的范围．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：将曲线方程化简，可得曲线表示以C（2，0）为圆心、半径r=1的圆的上半圆．再将直线方程化为点斜式，可得直线经过定点A（-1，-2）且斜率为k．作出示意图，设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（1，0），当直线的斜率k小于AD的斜率且大于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．由此利用直线的斜率公式与点到直线的距离公式加以计算，可得实数k的取值范围．

解答： 解：化简曲线y=

1-(x-2)2

，得（x-2）²+y²=1（y≥0）．
∴曲线表示以C（2，0）为圆心，半径r=1的圆的上半圆．
∵直线y+2=k（x+1）
∴直线经过定点A（-1，-2），且斜率为k．
又∵曲线y=

1-(x-2)2

与直线y+2=k（x+1）有两个相异的交点，
∴设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（1，0），
当直线的斜率k小于AD的斜率且大于或等于AB的斜率时，
直线与半圆有两个相异的交点．
由点到直线kx-y-2+k=0的距离公式，当直线与半圆相切时满足

|3k-2|

k2+1

=1，
解之得k=

3+ 3

4

，即k_AD=

3+ 3

4

．
又∵直线AB的斜率k_AB=

0+2

1+1

=1，
∴直线的斜率k的范围为k∈[1，

3+ 3

4

）．

点评：本题给出直线与半圆有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围．着重考查了直线的方程、圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．