Question

18．已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）
（1）若α∈（-π，0）且$\overrightarrow{|{AC}|}=\overrightarrow{|{BC}|}$，求角α的值；
（2）若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=0$，求$\frac{{2{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用点的坐标求出向量的坐标，根据向量模的平方等于向量的平方关系得到三角函数的关系，由角的范围求出角的大小．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用三角函数的二倍角公式、切化弦公式化简三角函数，利用三角函数的平方关系求出代数式的值．

解答 解：（1）A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）
∴$\overrightarrow{AC}$=（3cosα-4，3sinα），$\overrightarrow{BC}$=（3cosα，3sinα-4）；
又|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，∴${|\overrightarrow{AC}|}^{2}$=${|\overrightarrow{BC}|}^{2}$，
即（3cosα-4）²+9sin²α=9cos²α+（3sinα-4）²，
∴25-24cosα=25-24sinα，
∴sinα=cosα；
又α∈（-π，0），
∴α=-$\frac{3π}{4}$；
（2）∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴即（3cosα-4）×3cosα+3sinα×（3sinα-4）=0，
解得sinα+cosα=$\frac{3}{4}$，
所以1+2sinαcosα=$\frac{9}{16}$；
∴2sinαcosα=-$\frac{7}{16}$，
∴$\frac{{2{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{1+tanα}$=$\frac{2sinα（sinα+cosα）}{\frac{sinα+cosα}{cosα}}$=2sinαcosα=-$\frac{7}{16}$．

点评 本题考查了平面向量坐标的求法、向量模的坐标公式、由三角函数值求角、三角函数中的二倍角公式、平方关系，是综合题．