题目内容

函数f（x）=
3
sin2x+（sinx+cosx）（sinx-cosx）．
（1）求f（x）的单调区间和对称轴；
（2）若f（θ）=
3
，其中0＜θ＜
π
2
，求cos（θ+
π
6
）的值．
考点：两角和与差的正弦函数,两角和与差的余弦函数,二倍角的余弦,正弦函数的单调性
专题：计算题,三角函数的图像与性质
分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x-
π
6
），从而可确定f（x）的单调区间和对称轴；
（2）f（θ）=2sin（2θ-
π
6
）=
3
，0＜θ＜
π
2
，故-
π
6
＜2θ-
π
6
＜
5π
6
，所以2θ-
π
6
=
π
3
，即有θ=
π
4
，从而可求cos（θ+
π
6
）的值．
解答： 解：（1）f（x）=
3
sin2x+（sinx+cosx）（sinx-cosx）
=
3
sin2x-cos2x
=2sin（2x-
π
6
），
∴f（x）的对称轴为：x=
kπ
2
+
π
3
．
∵2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
，即有kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
．
∴其单调递增区间为：[kπ-
π
6
，kπ+
π
3
]．
∵2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
3π
2
，即有kπ+
π
3
≤x≤kπ+
5π
6
．
∴其单调递减区间为：[有kπ+
π
3
，kπ+
5π
6
]．
（2）f（θ）=
3
，有f（θ）=2sin（2θ-
π
6
）=
3
，
sin（2θ-
π
6
）=
3
2
．∵0＜θ＜
π
2
，故-
π
6
＜2θ-
π
6
＜
5π
6

∴2θ-
π
6
=
π
3
，即有θ=
π
4

cos（θ+
π
6
）=
3
2
cosθ-
1
2
sinθ=
6
-
2
4
．
点评：本题主要考察了两角和与差的余弦函数公式、二倍角的余弦、正弦函数的单调性等综合应用，属于中档题．
练习册系列答案
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x+1
x
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．
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．
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B、
C、
D、
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．
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A、m=
π
2
，n=-1
B、m=
π
2
，n=1
C、m=-
π
4
，n=-1
D、m=-
π
4
，n=1

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