Question

已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的极值．

Answer 1

[解析]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f ′(x)＝1－.

(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f ′(x)＝1－(x>0)，

因而f(1)＝1，f ′(1)＝－1，

所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为

y－1＝－(x－1)，

即x＋y－2＝0.

(2)由f ′(x)＝1－＝，x>0知：

①当a≤0时，f ′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；

②当a>0时，由f ′(x)＝0，解得x＝a.

又当x∈(0，a)时，f ′(x)<0；

当x∈(a，＋∞)时，f ′(x)>0，

从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，

且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；

当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．