Question

5．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A₁B₁C₁，∠BAC=90°，A₁A⊥平面ABC，A₁A=$\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{2}$，AC=2，A₁C₁=1，$\frac{BD}{DC}$=$\frac{1}{2}$．
（1）证明：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）求二面角A-CC₁-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面垂直的判定定理证明BC⊥平面A₁AD即可；
（Ⅱ）作AE⊥C₁C交C₁C于E点，连接BE，由三垂线定理知BE⊥CC₁，从而∠AEB为二面角A-CC₁-B的平面角，根据三角形的边角关系进行求解．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵A₁A⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A₁A⊥BC．在Rt△ABC中，$AB=\sqrt{2}，AC=2$，∴$BC=\sqrt{6}$，
∵BD：DC=1：2，∴$BD=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，又$\frac{BD}{AB}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{AB}{BC}$，
∴△DBA∽△ABC，∴∠ADB=∠BAC=90°，即AD⊥BC．
又A₁A∩AD=A，∴BC⊥平面A₁AD，
∵BC?平面BCC₁B₁，∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）如图，作AE⊥C₁C交C₁C于E点，连接BE，
由已知得AB⊥平面ACC₁A₁．∴AE是BE在面ACC₁A₁内的射影．
由三垂线定理知BE⊥CC₁，∴∠AEB为二面角A-CC₁-B的平面角．
过C₁作C₁F⊥AC交AC于F点，
则CF=AC-AF=1，${C_1}F={A_1}A=\sqrt{3}$，∴∠C₁CF=60°．
在Rt△AEC中，$AE=ACsin{60°}=2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$．
BE=$\sqrt{5}$
在Rt△BAE中，cos∠AEB=$\frac{AE}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即二面角A-CC₁-B的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及二面角的平面角求解，根据面面垂直的判定定理以及二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．，同时考查了空间想象能力，计算能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．