Question

16．已知全集S={1，2，3，4，5}，A={x∈S|x²-5qx+4=0}
（1）若∁_SA=S，求q的取值范围；
（2）若∁_SA中有四个元素，求∁_SA和q的值；
（3）若A中仅有两个元素，求∁_SA和q的值．

Answer 1

分析 利用∁_SA中元素特征，确定方程x²-5qx+4=0解的情况，从而求q．
（1）若∁_SA=S，则A为空集，得到对应方程无解，可以求q；
（2）若∁_SA中有四个元素，则方程x²-5qx+4=0有两个相等实根，得到根为2，或者一个根是1，2，3，4，5中的一个，另一个根不在S中，此时方程根在S中的可能值为3，5，求得q；
（3）若A中仅有两个元素，则方程x²-5qx+4=0有两个不等实根，利用根与系数的关系得到q．

解答 解：（1）若∁_SA=S，则A为空集，
所以①x²-5qx+4=0无解，
所以25q²-16＜0，
解得$-\frac{4}{5}＜q＜\frac{4}{5}$；
（2）若∁_SA中有四个元素，则方程x²-5qx+4=0有两个相等实根，并且此实根为2，所以（x-2）²=0，所以q=$\frac{4}{5}$，∁_SA={1，3，4，5}；
或者一个根是1，2，3，4，5中的一个，另一个根不在S中，所以此时方程根在S中的可能值为3，5，
当方程一根为3，另一个根不在S内，此时以q的值为$\frac{13}{15}$；
当方程一根为5，另一个根不在S，此时q的值为$\frac{29}{25}$；
（3）若A中仅有两个元素，则方程x²-5qx+4=0有两个不等实根，并且两根之积为4，在1，2，3，4，5，中两个数之间为4的只有1，4，所以∁_SA={2，3，5}，q=1．

点评 本题考查了元素与集合的关系以及一元二次方程根的个数问题；关键是由∁_SA中元素特征确定方程的根．