Question

14．如图，∠ABC=$\frac{π}{4}$，O为AB上一点，3OB=3OC=2AB，PO⊥平面ABC，2DA=2AO=PO，OA=1，且DA∥PO．
（1）求证：平面PBD⊥平面COD；
（2）求点O到平面BDC的距离．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理得出PD⊥OD，由OC⊥平面ABPD得出OC⊥PD，于是PD⊥平面COD，从而有平面PBD⊥平面COD；
（2）由计算可求BD，BC，CD的值，利用余弦定理可求cos∠BCD，利用同角三角函数基本关系式可求sin∠BCD的值，利用三角形面积公式可求S_△BCD，S_△BOC的值，利用体积相等V_O-BCD=V_D-BOC，即可得解点O到平面BDC的距离．

解答 （本题满分为12分）
证明：（1）由OA=AD=1，则OB=OC=OP=2，
∵AD∥PO，PO⊥平面ABC，
∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥AO．∴OD=$\sqrt{2}$，PD=$\sqrt{2}$．
又PO=2，∴PD²+OD²=PO²，∴PD⊥OD．
∵OB=OC，∠ABC=$\frac{π}{4}$，∴OC⊥AB．
∵PO⊥平面ABC，OC?平面ABC，
∴PO⊥AB，又AB?平面ABPD，OP?平面ABPD，AB∩OP=O，
∴OC⊥平面ABPD，∵PD?平面ABPD，
∴OC⊥PD，
又OC?平面COD，DO?平面COD，OC∩OD=O，
∴PD⊥平面COD，∵PD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面COD…6分
（2）由计算可得：BD=$\sqrt{10}$，BC=2$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{6}$，
所以：cos∠BCD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
所以：sin∠BCD=$\frac{\sqrt{33}}{6}$，
所以：S_△BCD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{33}}{6}$=$\sqrt{11}$，S_△BOC=$\frac{1}{2}×2×2=2$，
又因为：V_O-BCD=V_D-BOC，
所以：$\frac{1}{3}×\sqrt{11}×d$=$\frac{1}{3}×1×2$，解得：d=$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．
即点O到平面BDC的距离为$\frac{2\sqrt{11}}{11}$…12分

点评 本题主要考查了面面垂直的判定，点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．