Question

设函数f（x）=sin²x+cos（2x+

π

3

）
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及此时x的取值集合；
（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=

1

3

，f（

C

2

）=-

1

4

，且C为锐角，求sinA的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换公式化简f（x）=

1-cos2x

2

+

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=

1

2

-

3

2

sin2x，从而求最大值及最大值点；
（Ⅱ）由f（

C

2

）=

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

可得sinC=

3

2

，从而得到C=

π

3

，则sinA=sin（

2π

3

-B）=

3

2

cosB+

1

2

sinB，从而求值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

1-cos2x

2

+

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=

1

2

-

3

2

sin2x，…（2分）
∴当sin2x=-1时，
f（x）_max=

1+ 3

2

；                                     …（4分）
此时2x=2kπ-

π

2

（k∈Z），
∴x的取值集合为{x|x=kπ-

π

4

，k∈Z}．                      …（6分）
（Ⅱ）∵f（

C

2

）=

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

，
∴sinC=

3

2

，
∵C为锐角，
∴C=

π

3

，…（8分）
由cosB=

1

3

得sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

，
∴sinA=sin（

2π

3

-B）=

3

2

cosB+

1

2

sinB=

3 +2 2

6

．       …（12分）

点评：本题考查了三角恒变换及三角函数的性质应用，属于基础题．