Question

已知抛物线y²=x的弦AB与直线y=1公共点，且弦AB的中点N到y轴的距离为1，求弦AB长度的最大值，并求此直线AB所在的直线的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由抛物线y²=x知p=

1

2

，F（

1

4

，0），根据抛物线的定义，三角形的边角关系，判断得出最值，及相应直线的位置，
（2）联立方程组，借助韦达定理，弦长公式求解直线方程．

解答： 解：（1）由抛物线y²=x知p=

1

2

，F（

1

4

，0），
准线方程为x=-

1

4

，
N到准线的距离为d=1+

1

4

=

5

4

，
AF+BF=2×d=

5

2

，
在△ABF中，AF+BF≥AB，
所以AB=

5

2

取最大，此时直线AB过焦点F，
（2）设AB的方程：y=k（x-

1

4

），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
与y²=x联立方程组化简得：k²x²-（

k2+1

2

+1）x+

k2

16

=0，
x₁+x₂=

1

2

+

3

2k2

，x₁x₂=

1

16

，
|AB|²=（1+k²）|x₁-x₂|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=

25

4

，
求解得出：k=

6

3

，
∴直线AB的方程：y=

6

3

（x-

1

4

），即：直线的方程为：4x-2

6

y-1=0

点评：本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，焦点弦的性质，求解方法，属于中档题．