Question

设a、b、c∈R⁺，求证：
（1）（

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

）（a+b+c）²≥27；
（2）（a+b+c）（

1

a+b

+

1

b+c

+

1

a+c

）≥

9

2

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式

分析：（1）由已知条件利用均值不等式求解．
（2）由已知条件利用均值不等式证明．

解答： 证明：（1）∵a、b、c∈R⁺，
∴

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

≥

3

3 a2b2c2

，
a+b+c≥3

3	abc

，
∴（

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

）（a+b+c）²
≥

3

3 a2b2c2

×9

3	a2b2c2

=27．
（2）∵a、b、c∈R⁺，
∴

1

a+b

+

1

b+c

+

1

a+c

≥

(1+1+1)2

a+b+b+c+a+c

=

9

2(a+b+c)

，
∴（a+b+c）（

1

a+b

+

1

b+c

+

1

a+c

）≥

9

2

．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．