Question

已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半；直线l的方程为y-1=k（x+1）．
（1）求M的轨迹方程；
（2）判断l与M的轨迹的位置关系，若相交求出最短的弦长；
（3）设l与M的轨迹相交于A、B两点，是否存在k使得OA⊥OB？若存在求出k；若不存在，请给予证明．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）利用动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，建立方程，化简即可求M的轨迹方程；
（2）直线过圆内的点B（-1，1），故相交，求出|OB|，即可求出最短的弦长；
（3）若OA⊥OB，则圆心到直线的距离为2

2

，建立方程可得结论．

解答： 解：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合
P={M||MA|=

1

2

|MB|}．
由两点距离公式，点M适合的条件可表示为 

(x-2)2+y2

=

1

2

(x-8)2+y2

，
平方后再整理，得 x²+y²=16．  可以验证，这就是动点M的轨迹方程．
（2）直线过圆内的点B（-1，1），故相交；
∵OB=

2

，r=4，∴最短弦长，2

16-2

=2

14

．
（3）若OA⊥OB，则圆心到直线的距离为2

2

，
∴

|k+1|

k2+1

=2

2

，
∴7k²-2k+7=0，
方程无解，∴不存在

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．