Question

设数列{a_n}和{b_n}满足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃=3，且数列{a_n+1-a_n}是等差数列，{b_n-2}是等比数列．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{nb_n}的前n项和为S_n，求S_n的表达式；
（3）数列{c_n}满足c_n=a_n•（b_n+2-2），求数列{c_n}的最大项．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：综合题,整体思想,等差数列与等比数列

分析：（1）根据数列的通项公式，递推的方法解决．
（2）利用错位相减的方法，转化为等比数列整体求解．
（3）利用相邻两项作商的方法，结合不等式判断最大项，并求出来．

解答： 解：（1）依题意得：（a₃-a₂）-（a₂-a₁）=-1-（-2）=1．
所以a_n+1-a_n=（a₂-a₁）+（n-1）•1=n-3，
故当n≥2时，有a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=（n-4）+（n-5）+…+（-1）+（-2）+6=

n2-7n+18

2

，
又因为n=1时，a₁=6也适合上式，
所以a_n=

n2-7n+18

2

(n∈N*)
又∵

b2-2

b1-2

=

2

4

=

1

2

，b₁-2=4，∴bn-2=4•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-3，
故bn=(

1

2

)n-3+2(n∈N*)
（2）S_n=b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n
=[（

1

2

）^-2+2]+2[（

1

2

）^-1+2]+3[（

1

2

）⁰+2]+…+n[（

1

2

）^n-3+2]
=[（

1

2

）^-2+2（

1

2

）^-1+3[（

1

2

）⁰+…+n（

1

2

）^n-3]+2（1+2+3+…+n）

=[（

1

2

）^-2+2（

1

2

）^-1+3[（

1

2

）⁰+…+n（

1

2

）^n-3]+n（1+n）
 令S=（

1

2

）^-2+2（

1

2

）^-1+3[（

1

2

）⁰+…+n（

1

2

）^n-3
则

1

2

S=（

1

2

）^-1+2（

1

2

）⁰+3[（

1

2

）¹+…+n（

1

2

）^n-2
两式相减得：则

1

2

S=（

1

2

）^-2+（

1

2

）^-1+（

1

2

）⁰+…+（

1

2

）^n-3-n（

1

2

）^n-2
那么S=(

1

2

)-3+(

1

2

)-2+(

1

2

)-1+…+(

1

2

)n-4-n(

1

2

)n-3=

( 1 2 )-3[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n(

1

2

)n-3=16-8(n+2)(

1

2

)n
所以Sn=16-8(n+2)(

1

2

)n+n(n+1)
（3）c_n=an•(bn+2-2)=

1

2

(n2-7n+18)•(

1

2

)n-1=(n2-7n+18)•(

1

2

)n
令

cn+1

cn

=

[(n+1)2-7(n+1)+18]•( 1 2 )n+1

(n2-7n+18)•( 1 2 )n

=

n2-5n+12

2(n2-7n+18)

＜1，
得n²-9n+24＞0，
而n2-9n+24=(n-

9

2

)2+

15

4

＞0显然对任意的正整数n都成立，
所以数列{c_n}是单调递减数列，最大项是c₁=6．

点评：本题综合考察了数列的公式性质，求和的方法错位相减，作商判断最大项．对函数不等式的考察比较深刻．