Question

某市现行出租车收费标准如下：不考虑其他因素下，每次运行起步价为（包括燃油附加费在内）4里内5元（不含4里），满4里后的续程运行价为每里跳表计费1元．
（1）若某乘客坐出租车行驶了[n，n+1）（n∈N^*，n≥4）里，他应付给司机的费用（元）记作a_n，求a_n（n≥4）的表达式．
（2）令bn=

3，n=1 4，n=2 5，n=3 an，n≥4，n∈N

，构造函数f（n）=

1

n-2+b1

+

1

n-2+b2

+…+

1

n-2+bn

，n∈N^*，n≥2，若对任意，都有恒成立，试求k的取值范围．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）a₄=6，n≥4时，{a_n}构成等差数列，公差为1，即可求a_n（n≥4）的表达式．
（2）b_n=n+2，求出f（n），再利用作差法，确定f（n）随n的增大而增大，可得其最小值，即可求k的取值范围．

解答： 解：（1）易知a₄=6，n≥4时，{a_n}构成等差数列，公差为1，----（2分）
故当n∈N^*，n≥4时，a_n=a₄+（n-4）×1=n+2------（5分）
（2）由已知{b_n}构成等差数列，即b_n=n+2，n∈N^*-------（6分）
故f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，-----------（8分）
f(n+1)=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，
所以f（n+1）-f（n）=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0-------（10分）
故f（n）随n的增大而增大，其最小值为f(2)=

1

3

+

1

4

=

7

12

，
由已知，应有k≤

7

12

，即 k∈(-∞，

7

12

]-----（13分）

点评：本题考查数列的应用，考查数列的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．